Combinatorics and geometry of lattice quotients of the weak order
Combinatoire et géométrie des quotients de l'ordre faible
Résumé
Lattices are posets where any family of elements admits a join and a meet. A lattice is join semi-distributive when every element is uniquely written as the join of an antichain minimal for the inclusion and minimal in the lattice. This antichain is the canonical join representation of this element. An element that is its own canonical join representation is called join irreducible. The canonical join complex of a join semi-distributive lattice is the simplicial complex whose faces are the sets of join irreducibles which form a canonical join representation. This thesis introduces the canonical complex of a (join and meet) semi-distributive lattice, which contains the canonical join and meet complexes and encodes all the intervals of the lattice. These complexes are compatible with lattice quotients, in the sense that the canonical complex of a quotient is the subcomplex of the canonical complex of the lattice generated by the join and meet irreducibles that are not contracted in the quotient. The weak order on permutations is a fundamental example of a semi-distributive lattice, central in this thesis. We extensively use the combinatorial model of arcs and non-crossing arc diagrams developed by N. Reading to describe the join irreducibles and canonical join representations of the weak order. We show that the canonical complex of the weak order is isomorphic to the semi-crossing complex on arcs. We then focus on quotients of the weak order, such as the classical Tamari lattice obtained by the sylvester congruence, and the permutree lattices of V. Pilaud and V. Pons that interpolate between the weak order, the Tamari lattice and the boolean lattice. These lattices were realized as graphs of the permutreehedra, generalizing J.-L. Loday's associahedron. These polytopes are removahedra as they are obtained by removing inequalities from the facet description of the permutohedron. This thesis shows that the permutree lattices are the only lattice quotients of the weak order that can be realized as removahedra, which justifies the need for alternative constructions for all quotientopes. This leads to the description of the type cones of permutree fans
Les treillis sont des posets où toute famille d'éléments admet un supremum et un infimum. Un treillis est sup semi-distributif dès lors que tout élément s'écrit de manière unique comme le supremum d'une antichaîne minimale pour l'inclusion et minimale dans le treillis. Cette antichaîne est la représentation sup canonique de cet élément. Un élément qui est sa propre représentation sup canonique est appelé sup irréductible. Le complexe sup canonique d'un treillis sup semi-distributif est le complexe simplicial dont les faces sont les ensembles de sup irréductibles qui forment une représentation sup canonique. Cette thèse introduit le complexe canonique d'un treillis (sup et inf) semi-distributif, qui contient les complexes sup et meet canoniques et encode tous les intervalles du treillis. Ces complexes sont compatibles avec les treillis quotients, au sens où le complexe canonique d'un quotient est le sous-complexe du complexe canonique du treillis engendré par les sup et inf irréductibles non contractés dans le quotient. L'ordre faible sur les permutations est un exemple fondamental de treillis semi-distributif, central dans cette thèse. On utilise fortement le modèle combinatoire des arcs et des diagrammes d'arcs sans croisements développé par N. Reading pour décrire les sup irréductibles et les représentations sup canoniques de l'ordre faible. On montre que le complexe canonique de l'ordre faible est isomorphe au complexe de semi-croisement sur les arcs. On s'intéresse ensuite aux quotients de l'ordre faible, comme le classique treillis de Tamari obtenu par la congruence sylvestre, et les treillis permusylvestres de V. Pilaud et V. Pons qui interpolent entre l'ordre faible, le treillis de Tamari et le treillis booléen. Ces treillis ont été réalisés comme graphes des permusylvèdres, qui généralisent l'associaèdre de J.-L. Loday. Ces polytopes sont des enlevoèdres, puisqu'ils sont obtenus en supprimant des inégalités de la description des facettes du permutoèdre. Cette thèse montre que parmi tous les treillis quotients de l'ordre faible, seuls les treillis permusylvestres peuvent se réaliser comme enlevoèdres, ce qui justifie la nécessité des constructions alternatives pour tous les quotientopes. Ceci amène à la description des cônes de type des éventails permusylvestres
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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